供热季里，热力公司常报"平均室温 20.5℃ 达标"。但平均值会掩盖离散——有一户 15℃、另一户 26℃，平均也是 20.5℃。要判断"到底多少比例住户真的暖和"，不需要假设室温服从正态分布，用切比雪夫不等式就能给出一个不依赖分布形态的最差下限。
切比雪夫不等式说什么
对任意有均值 μ、标准差 σ 的数据，落在 μ±kσ 之外的概率不超过 1/k²。换句话说，至少有 1−1/k² 的比例落在 μ±kσ 之内。取 k=2，至少 75%；k=3，至少 89%。它只要求存在均值和方差，对分布形状零假设——这正是它比"正态假设"稳的地方。
用到室温抽测上
假设抽测 50 户，平均室温 20.5℃、标准差 1.8℃。取 k=2：至少 75% 的住户室温在 20.5±3.6℃，即 16.9~24.1℃ 之间；取 k=3：至少 89% 在 15.1~25.9℃。即便室温分布很歪（少数人家特别冷），这个下限依然成立。所以更负责任的表述不是"平均 20.5℃ 达标"，而是"至少 75% 住户室温在 16.9℃ 以上"。
和置信区间的区别
用置信区间反解样本量那篇回答的是"抽多少户才能把平均室温估准"；切比雪夫回答的是另一件事："已经知道均值和方差，最差有多少比例住户达标"。一个管抽样的量，一个管分布的下限，互补使用才完整。两者都不要求正态，适合供热这种分布未知的场景。
实务提醒
切比雪夫给的是"最差下限"，真实情况往往更宽松。它的价值是提醒：供热达标认定要看比例和离散度，不能只报一个平均数。标准差一大，即便平均达标，也可能有相当比例住户在挨冻——这时该查的是水力失衡和保温，而不是安慰自己"平均够热"。
